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櫻井 司冴
つかさの教室
【六分の一にならない！】双六でNマス先に止まる確率は？桃鉄、モノポリー、人生ゲームなどのサイコロを使用するゲームで確率の応用
櫻井 司冴
こんにちは、つかさの教室 教室腸のツカサです。
小学校・中学校・高校・大学と確率はどこまで行っても学ぶ事になりますよね。その応用を今回は紹介していきます。
学校の先生方でもとっさに聞かれると間違えるような、意外な計算になります。なので学生の皆さんは、塾や学校の先生に聞いてみても良いかもしれませんね。
もくじ
【前提の確認】さいころを1回ふる場合
確率で大事なのは前提条件です。
桃鉄をするのか、人生ゲームをするのかで、使うさいころ（人生ゲームの場合はルーレット）が違いますので確率ももちろん違ってきます。
この記事では、一般的なさいころで考えてみましょう。
- さいころは6面のもの
- どの目も等しく同じ確率で出現する物とする
この場合、一度さいころを転がして出る目の確率は１～６で6分の１となります。
| 出目 | 確率 |
| 1 | 6分の1 |
| 2 | 6分の1 |
| 3 | 6分の1 |
| 4 | 6分の1 |
| 5 | 6分の1 |
| 6 | 6分の1 |
当たり前ですが、１度しかさいころを振らない場合は、１マス先から６マス先まで同じ確率でとまることができると言うことになります。
出目が10個ある場合で考えている人はいますか？
10個ある場合は、どの出目も10分の1の確率で出ると言うことになります。
さいころを何度もふれる場合
ここからが双六ゲームの場合の確率の考え方です。
すごろくゲームをする上で鍵となる考え方ですので、詳しく解説していきます。
6マス先にとまれる確率は6分の１ではありません。具体的に計算してみると以下のような値になります。
| ○マス先 | とまれる確率 |
| 1 | 16.6% |
| 2 | 19.4% |
| 3 | 22.7% |
| 4 | 26.5% |
| 5 | 30.9% |
| 6 | 36.0% |
なぜこのようになるのでしょうか、具体的な計算方法を考えてみましょう。
１～６マス先にとまる確率の計算方法
１マス先にとまる場合は、さいころで１を出すしかありません。
しかし、２マス目にとまる場合は、一回目で２を出すパターンの他に１回目で１が出て、２回目も１が出るパターンも存在します。
それぞれ排反な事象なので足し合わせることが可能です。具体的な計算を書いていきます。
- ※排反な事象とは？(クリックで開く)
-
「排反な事象」とは、2つの事象（結果）が同時に起こることが絶対にない、という意味です。
一方の事象が発生したらもう一方は発生しない関係となります。
トランプで例えると、「1のカードが出る」と「2のカードが出る」は排反ですが、「ハートが出る」と「2のカードが出る」は排反ではありません（2のハートのカードがあるため）。
さいころにおける排反の具体例
「１の目が出る」事象と「２の目が出る」事象は排反です。
「偶数が出る」事象と「奇数が出る」事象は排反です。
Q
２マス先にとまる確率
・1回目に２を出してとまる確率1/6
・1回目に１を出した後に2回目に１を出す確率1/36
2つの事象はともに排反な事象なので、足し合わせることができる。
2マス先にとまる確率は7/36≒19.4％
３マス先にとまる確率
・1回目に３を出してとまる確率1/6
・1回目に１を出した後に2回目に２を出す確率1/36
・1回目に２を出した後に2回目に１を出す確率1/36
・1回目に１を出した後に2回目に１し、3回目も１を出す確率1/216
４つの事象はともに排反な事象なので、足し合わせることができる。
３マス先にとまる確率は49/216≒22.7％
4以降も同じように考えるので、少し省略して書きます。
４マス先にとまる確率
・1回目に4を出してとまる確率1/6
・さいころ２回投げて合計4になる確率3/36
・さいころ３回投げて合計４になる確率3/216
・さいころ４回投げて全部１になる確率1/1296
すべての事象はともに排反な事象なので、足し合わせることができる。
４マス先にとまる確率は343/1296≒26.5％
５マス先にとまる確率
・1回目に５を出してとまる確率1/6
・さいころ２回投げて合計５になる確率4/36
・さいころ３回投げて合計５になる確率6/216
・さいころ4回投げて合計５になる確率4/1296
・さいころ５回投げて全部１になる確率1/7776
すべての事象はともに排反な事象なので、足し合わせることができる。
５マス先にとまる確率は2401/7776≒30.9％
６マス先にとまる確率
・1回目に６を出してとまる確率1/6
・さいころ２回投げて合計６になる確率4/36
・さいころ３回投げて合計６になる確率6/216
・さいころ4回投げて合計６になる確率4/1296
・さいころ５回投げて合計６になる確率4/1296
・さいころ６回投げて全部１になる確率1/7776
すべての事象はともに排反な事象なので、足し合わせることができる。
6マス先にとまる確率は16807/46656≒36.0％
このように１マス先～６マス先の場合であれば、先のマスであればあるほどとまれる確率は高まっていきます。
Nマス先にとまる確率(7マス先以降)
先ほどまでの数字を見ていた人からすると、6マス先よりも7マス目以降の方が確率高そうと感じますよね。
実は、6マス目にとまる確率が最大になります。
7マス目以降は確実に2回さいころを振らないといけなくなるので、確率がグッと低くなります。
| Ｎマス先 | とまる確率 |
|---|---|
| 6 | 36.02％ |
| 7 | 25.36% |
| 8 | 26.81% |
| 9 | 28.04% |
| 10 | 28.93% |
どんどん、Ｎを大きくしていくと1/3.5と言う値に近づいていきます。
3.5というのは、1回さいころを振ったときにでる目の期待値です。
1回で平均して3.5マス進むさいころなので、1マスあたりにとまる確率は1/3.5となるわけです。
3.5マスに一つとまれるわけですから、アクシデントマスが３マス並んでいるところには結構な高確率でとまってしまうというわけです。
【考えてみよう】特殊なさいころ（アイテム）を使用した方が良い場面
パワフルプロ野球というモバイルアプリ内でイベントとして双六が登場しました。
その双六では、以下のようなさいころが登場するのです。
- １～３しか出ないさいころ
- ４～６しか出ないさいころ
みたいなのが登場します。他のゲームでは、奇数しかでないさいころや偶数しか出ないさいころみたいなのを見たことがあります。
- 考えてみよう①
-
もし4マス先にとまりたい場合、どのさいころを何回使用するととまれる確率が高くなるか？
さいころは以下の物があるとする。
・１～６が出るさいころ：いっぱい
・１～３がでるさいころ：いっぱい
・４～６がでるさいころ：いっぱい
この場合、４マス先にとまるためにどうするのが最善であると考えられるかな？
Q
- 答え（解説は少し）
-
最も４マス先にとまりやすいのは、１～３しか出ないさいころのみを使用する。計算してみると81分の37となるので、約45％の確率で4マス先にとまれることになります。
簡単に解説すると、以下の４通りの内どれが最も４マス先にとまれるか考える問題です。
①普通の6面のさいころでふり続ける
②４～６しか出ないさいころを1回ふる
③１～３しか出ないさいころをふり続ける
④１～６が出るさいころを一度ふる、１～３が出た場合１～３が出るさいころをふる。①一番確率が低いです。はじめに４が出る確率6分の１、一回目が3以下で…。と計算していくと26％クライになります。
②４～６しか出ないさいころを１回ふると3分の1の確率でとまりますよね。
④１～６まで出るさいころを1度使用してから、１・２・３が出た場合のみ１～３のさいころをふるとすると約40％の確率でとまることができます。
小さい目がでるさいころは意外と偉いんですよね。
Q
小さい目が出るさいころは重要な場面にとっておくのが良さそうです。また、４～６しか出ないさいころには１～３マス目に確実にとまらなくて良いというメリットがあります。
確実にとまりたくないマスがあるとき、６マス目にとまりたいときなどは４～６しか出ないさいころを使うべきです。
6マス目にとまる場合４～６を使用して3分の1の確率でとまれますし、４，５が出たとしても１～３のさいころを使用することでとまれる確率がぐっとアップします。
まとめ
6マス目にとまれる確率は6分の１ではないと言うことがわかりましたね。
さいころを複数回ふることができる双六では、先のマスであればあるほど高確率でとまることができます。(１～６マス先の場合)
しかし、7マス目以降はとまることができる確率が、6マス目よりも低くなっているのが面白いですよね。
是非いろいろな計算をやってみてください。確率のシリーズは好評だったら記事を増やします！
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趣味関連の最新情報や教員時代のノウハウを皆様にお届けすべく、日々奮闘中です。
趣味はAPEXLegendsをはじめとしたオンラインゲーム。ネットやパソコンが得意です。 1児の父で子育てについても発信していきます！
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